6.1 함수의 정의
함수: 한 집합의 원소들과 다른 집합의 원소들 간의 관계를 나타내는 순서쌍 중에서 앞에 있는 집합의 모든 원소가 한 번씩만 순서쌍에 포함될 경우를 말한다
두 집합 X, Y에서 함수 f는 집합 X에서 Y로의 관계의 부분 집합으로서 집합 X에 있는 모든 원소 x가 집합 Y에 있는 원소 중 오직 하나씩만 대응되는 관계를 말함
집합 X에서 집합 Y로의 함수 f는 f: X -> Y 로 표기
함수 f를 사상(mapping)이라고도 하며 f는 X에서 Y로 사상한다라고 표현한다
이때 f(x) = y라고 하면 y를 함수 f에 의한 x의 상(image) 또는 함수값이라고 한다
정의역: Dom(f), 치역: Ran(f) (공번역: x에 대응하지 않는 치역이 아닌 y값)
* 함수는 관계의 특별한 경우라고 볼 수 있음
6.2 함수 그래프
G = {(x, y)| x∈A, y∈B, y = f(x)}
6.3 단사 함수, 전사 함수, 전단사 함수
단사 함수(injective function): (일대일 함수) 정의역 A의 모든 원소들이 공변역 B의 서로 다른 원소와 대응됨
전사 함수(surjective function): B의 모든 원소 b에 대하여 f(a) = b가 성립되는 a가 적어도 하나가 있음 (공변역 = 치역)
전단사 함수(bijective function): (일대일 대응 함수) 어떤 함수가 단사 함수 이면서 전사 함수 일 때
* 주어진 어떤 함수가 단사 함수인지는 x의 두 값에 대해 값이 같은 y가 있는가를 확인하면 됨 만약 있으면 단사 함수가 아님
* 전사 함수는 그냥 정의된 b 값에 모두 a값이 대응되는가만 보면 됨
6.4 여러 가지 함수들
합성 함수: f: A -> B, g:B -> C 일 때 g(f(a))가 성립하고 g - f 라고 한다
합성 함수는 결합 법칙(associative law)이 성립한다
항등 함수: x가 항상 자기 자신에게 대응하기 때문에 단사 함수이면서 전사 함수이다.
역함수(inverse function): f: A -> B가 전단사 함수일 때 f^-1:B -> A로 표기하고 역함수라고 함
상수 함수(constant function): f: A -> B에서 집합 A의 모든 원소가 집합 B의 오직 한 원소와 대응할 때
특성 함수(characteristic function): 전체 집합 U의 부분 집합 A의 특성 함수 fA : U -> {0, 1}는 fA(x) = {0 ( x가 A의 원소가 아닐 때), 1 (x가 A의 원소 일 때)}
올림 함수(ceiling function): x보다 크거나 같은 정수값 중 가장 작은 값을 나타내며 [x]로 표기함
내림 함수(floor function): x 보다 작거나 같은 정수 값 중 가장 큰 값을 나타내며 [x]로 표기함